【BZOJ4373】算术天才⑨与等差数列

Description

算术天才⑨非常喜欢和等差数列玩耍。

有一天，他给了你一个长度为n的序列，其中第i个数为a[i]。

他想考考你，每次他会给出询问l,r,k，问区间[l,r]内的数从小到大排序后能否形成公差为k的等差数列。

当然，他还会不断修改其中的某一项。

为了不被他鄙视，你必须要快速并正确地回答完所有问题。

注意：只有一个数的数列也是等差数列。

Input

第一行包含两个正整数n,m(1<=n,m<=300000)，分别表示序列的长度和操作的次数。

第二行包含n个整数，依次表示序列中的每个数a[i](0<=a[i]<=10^9)。

接下来m行，每行一开始为一个数op，

若op=1，则接下来两个整数x,y(1<=x<=n，0<=y<=10^9)，表示把a[x]修改为y。

若op=2，则接下来三个整数l,r,k(1<=l<=r<=n，0<=k<=10^9)，表示一个询问。

在本题中，x,y,l,r,k都是经过加密的，都需要异或你之前输出的Yes的个数来进行解密。

Output

输出若干行，对于每个询问，如果可以形成等差数列，那么输出Yes，否则输出No。

Sample Input

5 3

1 3 2 5 6

2 1 5 1

1 5 4

2 1 5 1

Sample Output

No

Yes

题解：最近看到这道题热度飙升，于是也来刷一发~

对于给定的一段区间，我们如何判断排序后，它能否形成等差数列呢？换句话说，我们希望找出一些限制，使得如果一个区间是等差数列，当且仅当它满足了这些限制。可行的限制组合不唯一，这里只说我的方法。

1.区间的max-min=(r-l)*k

2.区间内任意两数的差%k=0

3.区间内无重复的数

第一个限制直接上线段树搞定。对于第二个限制，我们可以将原数组差分，然后限制就变成了差分数组中区间内的所有数%k=0，也就是区间内所有数的gcd%k=0，用线段树求区间gcd即可。

第三个限制不太好搞，但是我们只需要维护一个pre数组，pre[i]表示上一个和v[i]相等的位置。在修改时我们可以用set来维护pre数组。然后限制就变成了区间中所有数的pre都<l，也就是区间pre的最大值<l，还是用线段树。

#include 
     
      #include 
      
       #include 
       
        #include 
        
         #include 
         
          #define MP(A,B) make_pair(A,B)#define lson x<<1#define rson x<<1|1using namespace std;const int maxn=300010;typedef long long ll;typedef pair
          
            pii;int n,m,sum;int sp[maxn<<2],sm[maxn<<2],sn[maxn<<2],sg[maxn<<2],v[maxn],lp[maxn];set
           
             s;set
            
             ::iterator it;int rd(){ int ret=0,f=1; char gc=getchar(); while(gc<'0'||gc>'9') {if(gc=='-')f=-f; gc=getchar();} while(gc>='0'&&gc<='9') ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar(); return ret*f;}int gcd(int a,int b){ return (!b)?a:gcd(b,a%b);}void pushup(int x){ sm[x]=max(sm[lson],sm[rson]),sn[x]=min(sn[lson],sn[rson]),sg[x]=gcd(sg[lson],sg[rson]),sp[x]=max(sp[lson],sp[rson]);}void build(int l,int r,int x){ if(l==r) { sm[x]=sn[x]=v[l],sp[x]=lp[l],sg[x]=v[l]-v[l-1]; return ; } int mid=l+r>>1; build(l,mid,lson),build(mid+1,r,rson); pushup(x);}void updata(int l,int r,int x,int a){ if(l==r) { sm[x]=sn[x]=v[l],sp[x]=lp[l],sg[x]=v[l]-v[l-1]; return ; } int mid=l+r>>1; if(a<=mid) updata(l,mid,lson,a); else updata(mid+1,r,rson,a); pushup(x);}int qm(int l,int r,int x,int a,int b){ if(a<=l&&r<=b) return sm[x]; int mid=l+r>>1; if(b<=mid) return qm(l,mid,lson,a,b); if(a>mid) return qm(mid+1,r,rson,a,b); return max(qm(l,mid,lson,a,b),qm(mid+1,r,rson,a,b));}int qn(int l,int r,int x,int a,int b){ if(a<=l&&r<=b) return sn[x]; int mid=l+r>>1; if(b<=mid) return qn(l,mid,lson,a,b); if(a>mid) return qn(mid+1,r,rson,a,b); return min(qn(l,mid,lson,a,b),qn(mid+1,r,rson,a,b));}int qp(int l,int r,int x,int a,int b){ if(a<=l&&r<=b) return sp[x]; int mid=l+r>>1; if(b<=mid) return qp(l,mid,lson,a,b); if(a>mid) return qp(mid+1,r,rson,a,b); return max(qp(l,mid,lson,a,b),qp(mid+1,r,rson,a,b));}int qg(int l,int r,int x,int a,int b){ if(a<=l&&r<=b) return sg[x]; int mid=l+r>>1; if(b<=mid) return qg(l,mid,lson,a,b); if(a>mid) return qg(mid+1,r,rson,a,b); return gcd(qg(l,mid,lson,a,b),qg(mid+1,r,rson,a,b));}int main(){ n=rd(),m=rd(); int i,a,b,c; pii tmp; for(i=1;i<=n;i++) { v[i]=rd(),tmp=MP(v[i],i),it=s.upper_bound(tmp); if(it!=s.begin()&&(*(--it)).first==v[i]) lp[i]=(*it).second; s.insert(tmp); } build(1,n,1); for(i=1;i<=m;i++) { if(rd()==1) { a=rd()^sum,b=rd()^sum,tmp=MP(v[a],a),s.erase(tmp),it=s.upper_bound(tmp); if(it!=s.end()&&(*it).first==v[a]) lp[(*it).second]=lp[a],updata(1,n,1,(*it).second); v[a]=b,tmp=MP(v[a],a),it=s.upper_bound(tmp); if(it!=s.end()&&(*it).first==v[a]) lp[(*it).second]=a,updata(1,n,1,(*it).second); if(it!=s.begin()&&(*(--it)).first==v[a]) lp[a]=(*it).second; else lp[a]=0; s.insert(tmp),updata(1,n,1,a); if(a